Angewandte Mathematik: Body and Soul: [BAND 2] Integrale und by Kenneth Eriksson, Donald Estep, Claes Johnson (auth.)

By Kenneth Eriksson, Donald Estep, Claes Johnson (auth.)

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1 Lf x¯hn . 25) 2 x)}∞ Diese Absch¨ atzung zeigt uns, dass {U n (¯ n=1 eine Cauchy-Folge ist, die folglich gegen eine reelle Zahl konvergiert. Wir entschließen uns, in Anlehnung an Leibniz, diese reelle Zahl mit x) − U m (¯ x)| ≤ |U n (¯ x ¯ f (x) dx 0 zu bezeichnen, die dem Grenzwert von j x) = U n (¯ f (xni−1 )hn i=1 entspricht, wenn n gegen Unendlich strebt f¨ ur x¯ = xnj . Anders formuliert: j x ¯ f (xni−1 )hn . f (x) dx = lim 0 n→∞ i=1 468 27. 25) gegen Unendlich strebt, k¨onnen wir diese Beziehung folgendermaßen quantitativ ausdr¨ ucken: j x ¯ 0 f (xni−1 )hn ≤ f (x) dx − i=1 1 Lf x ¯ hn .

Wenn wir y = g(x) = 1 + x4 und formal dy = g (x)dx = ucksichtigung von g(0) = 1 und 4x3 dx setzen, dann erhalten wir unter Ber¨ g(1) = 2: 1 0 1 4 1 1 (g(x))−1/2 g (x) dx = 4 0 √ 2−1 1 . 10 Partielle Integration Wir erinnern daran, dass die Produktregel eine wichtige Eigenschaft der Ableitung ist, die uns aufzeigt, wie wir die Ableitung f¨ ur das Produkt zweier Funktionen finden. Die entsprechende Formel f¨ ur die Integration ist die partielle Integration. Die Formel lautet: b b u (x)v(x) dx = u(b)v(b) − u(a)v(a) − u(x)v (x) dx.

30) 0 An dieser Stelle w¨ ahlen wir x, x¯ ∈ [0, 1] mit x ≥ x ¯. 28) erkennen wir, dass x ¯ x u(x) − u(¯ x) = 0 f (z)dz − x f (y)dy = 0 f (y)dy x ¯ und x |u(x) − u(¯ x) − f (¯ x)(x − x ¯)| = x = x ¯ f (y) dy − f (¯ x)(x − x ¯) x ¯ x (f (y) − f (¯ x)) dy ≤ x ≤ x ¯ Lf |y − x ¯| dy = x ¯ |f (y) − f (¯ x)| dy 1 Lf (x − x ¯)2 , 2 wobei wir wiederum die Dreiecksungleichung f¨ ur Integrale benutzt haben. Damit haben wir gezeigt, dass u gleichm¨ aßig auf [0, 1] differenzierbar ist und dass Ku ≤ 12 Lf . 470 27.

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